Em matemática, um mapa linear ou função linear f(x) é uma função que satisfaz as duas propriedades:
- Aditividade: f(x + y) = f(x) + f(y).
- Homogeneidade do grau 1: f(αx) = α f(x) para todos α.
Estas propriedades são conhecidas como o princípio da sobreposição. Nesta definição, x não é necessariamente um número real, mas pode em geral ser um elemento de qualquer espaço vectorial. Uma definição mais especial de função linear, não coincidindo com a definição de mapa linear, é usada em matemática elementar (ver abaixo).
Aditividade por si só implica homogeneidade para o racional α, já que f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}
implica f ( n x ) = n f ( x ) {\i1}displaystyle f(nx)=nf(x)}
para qualquer número natural n por indução matemática, e depois n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\\i1}displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\i}{m}}x)=mf({\i}{n}{m}x)} =mf({\i}x
implica f ( n m x ) = n m f ( x ) {\i1}{\i1}f(n}{m}}x)={\i}frac {n}{m}}f(x)}
. A densidade dos números racionais nos reais implica que qualquer função contínua aditiva é homogênea para qualquer número real α, e é portanto linear.
O conceito de linearidade pode ser estendido aos operadores lineares. Exemplos importantes de operadores lineares incluem a derivada considerada como um operador diferencial, e outros operadores construídos a partir dela, como o del e o Laplaciano. Quando uma equação diferencial pode ser expressa em forma linear, ela pode geralmente ser resolvida quebrando a equação em peças menores, resolvendo cada uma dessas peças, e somando as soluções.
Álgebra linear é o ramo da matemática preocupado com o estudo de vetores, espaços vetoriais (também chamados de ‘espaços lineares’), transformações lineares (também chamados de ‘mapas lineares’), e sistemas de equações lineares.
Para uma descrição de equações lineares e não lineares, veja equação linear.
Polinómios linearesEditar
Em uma utilização diferente da definição acima, um polinômio de grau 1 é dito linear, porque o gráfico de uma função dessa forma é uma linha reta.
Sobre os reais, uma equação linear é uma das formas:
f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }
onde m é muitas vezes chamado de inclinação ou gradiente; b o intercepção y, que dá o ponto de intersecção entre o gráfico da função e o eixo y.
Notem que este uso do termo linear não é o mesmo que na secção acima, porque os polinómios lineares sobre os números reais não satisfazem em geral nem a aditividade nem a homogeneidade. Na verdade, eles o fazem se e somente se b = 0. Assim, se b ≠ 0, a função é freqüentemente chamada de função afim (veja em maior generalidade transformação afim).
Funções booleanasEditar
Na álgebra booleana, uma função linear é uma função f {\i}
para os quais existe um 0 , um 1 , … , um n ∈ {0 , 1 } {0,a_{1},ldots ,a_{n}in {0,1}
tal que f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\i1}displaystyle f(b_{1},{\i}ldots ,b_{n})=a_{0}{0}oplus (a_{1}\i}land b_{1}){\i}oplus {\i}cdots {\i}oplus (a_{n}{n}land b_{n})}
, onde b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . .
Note que se a 0 = 1 {\i1}displaystyle a_{0}=1}
, a função acima é considerada afim em álgebra linear (ou seja, não linear).
A função booleana é linear, se uma das seguintes opções se aplica à tabela de verdade da função:
- Em cada linha em que o valor de verdade da função é T, há um número ímpar de Ts atribuídos aos argumentos, e em cada linha em que a função é F, há um número par de Ts atribuídos aos argumentos. Especificamente, f(F, F, …, F) = F, e estas funções correspondem a mapas lineares sobre o espaço vectorial booleano.
- Em cada linha em que o valor da função é T, há um número par de Ts atribuídos aos argumentos da função; e em cada linha em que o valor verdadeiro da função é F, há um número ímpar de Ts atribuídos aos argumentos. Neste caso, f(F, F, …, F) = T.
Outra forma de expressar isto é que cada variável sempre faz uma diferença no valor verdadeiro da operação ou nunca faz uma diferença.
Negação, bicondicional lógica, exclusiva ou, tautologia, e contradição são funções lineares.