Negação
Por vezes em matemática é importante determinar qual é o oposto de uma determinada afirmação matemática. Isto é normalmente referido como “negação” de uma afirmação. Uma coisa a ter em mente é que se uma declaração é verdadeira, então sua negação é falsa (e se uma declaração é falsa, então sua negação é verdadeira).
Vejamos algumas das negações mais comuns.
Negação de “A ou B”.
Antes de dar a resposta, vamos tentar fazer isto por um exemplo.
Considere a afirmação “Você ou é rico ou feliz”. Para que esta afirmação seja falsa, você não pode ser rico e não pode ser feliz. Em outras palavras, o oposto é não ser rico e não ser feliz. Ou se o reescrevermos em termos da afirmação original, recebemos “Você não é rico e não é feliz”.
Se deixarmos A ser a afirmação “Você é rico” e B ser a afirmação “Você é feliz”, então a negação de “A ou B” torna-se “Não A e Não B.”
Em geral, temos a mesma afirmação: A negação de “A ou B” é a frase “Não A e Não B”.”
Negação de “A e B”.
Again, let’s analyse an example first.
Considerar a afirmação “Eu sou rico e feliz”. Para que esta afirmação seja falsa, eu poderia ou não ser rico ou não ser feliz. Se deixarmos A ser a afirmação “Eu sou rico” e B ser a afirmação “Eu sou feliz”, então a negação de “A e B” torna-se “Eu não sou rico ou não sou feliz” ou “Não A ou não B”.
Negação de “Se A, então B”.
Negação da forma “Se A, então B” deve ser substituída pela expressão “A e Não B”. Isto pode parecer confuso no início, então vamos dar uma olhada num exemplo simples para ajudar a entender porque isto é a coisa certa a fazer.
Considerar a afirmação “Se eu sou rico, então eu sou feliz”. Para que esta afirmação seja falsa, eu precisaria ser rico e não feliz. Se A é a afirmação “Sou rico” e B é a afirmação “Sou feliz”, então a negação de “A $\Rightarrow$ B” é “Sou rico” = A, e “Não sou feliz” = não B.
Então a negação de “Se A, então B” torna-se “A e não B”.
Exemplo.
Agora vamos considerar uma declaração envolvendo alguma matemática. Pegue a declaração “Se n é igual, então $\frac{n}{2}$ é um número inteiro.” Para que esta afirmação seja falsa, precisaríamos de encontrar um número inteiro par $n$ para o qual $n$frac{n}{2}$ não era um número inteiro. Então o oposto desta afirmação é a afirmação de que “$n$ é igual e $\frac{n}{2}$ não é um número inteiro.”
Negação de “Para cada…”, “Para todos…”, “Existe…”
Algumas vezes encontramos frases como “para cada”, “para qualquer”, “para todos” e “existe” em declarações matemáticas.
Exemplo.
Considerar a frase “Para todos os inteiros $n$, ou $n$ é igual ou $n$ é estranho”. Podemos reformular esta frase da seguinte forma: “Se $n$ é qualquer número inteiro, então $n$ é par ou $n$ é ímpar.”
Como negaríamos esta frase? Para que esta afirmação seja falsa, tudo o que precisaríamos era encontrar um único número inteiro que não fosse par e não fosse estranho. Em outras palavras, a negação é a afirmação “Existe um inteiro $n$, então $n$ não é par e $n$ não é impar””
Em geral, ao negar uma afirmação envolvendo “para todos”, “para todos”, a frase “para todos” é substituída por “existe”. Da mesma forma, ao negar uma declaração envolvendo “existe”, a frase “existe” é substituída por “para todos” ou “para todos”.”
Exemplo. Negue a afirmação “se todos os ricos são felizes, então todos os pobres são tristes”.
Primeiro, esta afirmação tem a forma “Se A, então B”, onde A é a afirmação “Todos os ricos são felizes” e B é a afirmação “Todos os pobres são tristes”. Então a negação tem a forma “A e não B”. Portanto, vamos precisar de negar B. A negação da frase B é “Existe uma pessoa pobre que não está triste”.
Pondo isto junto dá: “Todos os ricos são felizes, mas existe um pobre que não está triste” como a negação de “Se todos os ricos são felizes, então todos os pobres são tristes”
Resumo.
| Declaração | Negação |
| “A ou B” | “não A e não B” |
| “A e B” | “não A ou não B” |
| “se A, então B” | “A e não B” |
| “Para todos x, A(x)” | “Existe x tal que não A(x)” |
| “Existe x tal que A(x)” | “Para cada x, não A(x)” |