Hauptmenü umschaltenSuche umschalten
Modul und Argument
Das Argand-Diagramm
Definition
Ein Argand-Diagramm hat eine waagerechte Achse, die als Realachse bezeichnet wird, und eine senkrechte Achse, die als Imaginärachse bezeichnet wird.
Eine komplexe Zahl $z = a + bi$ wird an den Koordinaten $(a,b)$ aufgetragen, da $a$ der Realteil der komplexen Zahl ist und $b$ der Imaginärteil.
|center
Arbeitsbeispiel
Beispiel 1
Plotten Sie die folgenden komplexen Zahlen in ein Argand-Diagramm.
\begin{align} z_1 &= 3+i \\\ z_2 &= -2-4i \\ z_3 &=-1+3i \\\ z_4 &= -2i \end{align}
Lösung
Modul und Argument
Definition
Jede komplexe Zahl $z$ kann durch einen Punkt in einem Argand-Diagramm dargestellt werden. Diesen Punkt kann man mit dem Ursprung durch ein Liniensegment verbinden. Die Länge des Liniensegments heißt Modul der komplexen Zahl und wird mit $\lvert z \rvert$ bezeichnet. Der Winkel, der von der positiven reellen Achse zum Liniensegment gemessen wird, wird als Argument der komplexen Zahl bezeichnet, mit $arg(z)$ bezeichnet und oft mit $\theta$ beschriftet. Modul und Argument können mit Hilfe der Trigonometrie berechnet werden.
|center
Der Modul einer komplexen Zahl $z = a + b i$ ist \
Bei der Berechnung des Arguments einer komplexen Zahl muss man sich entscheiden, ob man Werte im Bereich $$ oder im Bereich $$ nimmt. Beide sind gleichwertig und gleich gültig. Auf dieser Seite verwenden wir die Konvention $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
Die „naive“ Art, den Winkel zu einem Punkt $(a,b)$ zu berechnen, besteht darin, $\arctan(\frac{b}{a})$ zu verwenden, aber da $\arctan$ nur Werte im Bereich $$ annimmt, führt dies zu einem falschen Ergebnis für Koordinaten mit negativer $x$-Komponente. Man kann dies beheben, indem man $\pi$ addiert oder subtrahiert, je nachdem, in welchem Quadranten des Argand-Diagramms der Punkt liegt.
- Erster Quadrant: $\theta = \arctan \links(\dfrac{b}{a}\rechts)$.
- Zweiter Quadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
- Dritter Quadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
- Vierter Quadrant: $\theta = \arctan \links(\dfrac{b}{a}\rechts)$.
Es ist eine gute Idee, ein Argand-Diagramm der komplexen Zahl zu zeichnen, wenn man die Entscheidung trifft, welche Formel man verwenden soll.
Hinweis: Achten Sie auf den Fall, dass $a=0$ ist, d.h. die komplexe Zahl keinen Realteil hat. In diesem Fall funktioniert die Methode $\arctan$ nicht, aber das Argument ist entweder $\frac{\pi}{2}$ oder $-\frac{\pi}{2}$ für Zahlen mit positivem bzw. negativem Imaginärteil.
Beispiel
$z_1=1+i$ hat das Argument \
Die gleiche Rechnung für $z_2=-1-i$ ergibt aber $\arctan \left(\frac{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, also die gleiche Zahl!
Wenn wir $z_2$ in ein Argand-Diagramm einzeichnen, sehen wir, dass es in den dritten Quadranten fällt, also müsste das Argument zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $-\pi$ liegen. Wir müssen $\pi$ subtrahieren, um dies zu korrigieren und erhalten somit $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Arbeitsbeispiele
Beispiel 1
Bestimme den Modulus und das Argument der komplexen Zahl $z = 3+2i$.
Lösung
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\ &=\sqrt{9+4}\\ &=\sqrt{13} \end{align}
Da die komplexe Zahl im ersten Quadranten des Argand-Diagramms liegt, können wir $\arctan \frac{2}{3}$ ohne Änderung verwenden, um das Argument zu finden.
\begin{align} \arg z &= \arctan \links(\frac{2}{3}\rechts) \\\ &=0,59 \text{radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Beispiel 2
Bestimme den Modulus und das Argument der komplexen Zahl $z=4i$.
Lösung
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\ &=\sqrt{16}\\ &=4 \end{align}
Am einfachsten findet man das Argument, wenn man ein Argand-Diagramm betrachtet und den Punkt $(0,4)$ einzeichnet. Der Punkt liegt auf der positiven vertikalen Achse, also \
Beispiel 3
Bestimme den Modulus und das Argument der komplexen Zahl $z = -2+5i$.
Lösung
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\ &=\sqrt{4+25}\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Da $z$ im zweiten Quadranten des Argand-Diagramms liegt, müssen wir $\pi$ zu dem aus $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$ erhaltenen Ergebnis addieren.
\begin{align} \arg z &= \arctan \links(\frac{5}{-2}\rechts) + \pi \\\ &=-1,19 + \pi \\\ &= 1,95 \text{radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Beispiel 4
Bestimme den Modulus und das Argument der komplexen Zahl $z = -4-3i$.
Lösung
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align}
Da $z$ im dritten Quadranten des Arganddiagramms liegt, müssen wir $\pi$ vom Ergebnis von $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$ subtrahieren.
\begin{align} \arg z &= \arctan \links(\frac{-3}{-4}\rechts) – \pi\\ &= \arctan \links(\frac{3}{4}\rechts) – \pi\\ &= 0,64 – \pi \\\ &= -2,50 \text{ radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Anmerkung: Alternativ hätte die Antwort auch im Bereich $0 \lt \theta \lt 2\pi$ gegeben werden können, wobei wir $\pi$ addiert hätten, anstatt es zu subtrahieren, und eine Antwort von $\arg z = 3,67$ Bogenmaß (zu 2 d.p.)
Beispiel 5
Bestimmen Sie den Modulus und das Argument der komplexen Zahl $z = 1-4i$.
Lösung
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\ &=\sqrt{1+16}\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Da $z$ im vierten Quadranten des Argand-Diagramms liegt, brauchen wir das Ergebnis von $\arctan \left(\frac{-4}{1}\right)$ nicht zu ändern, um das Argument zu finden.
\begin{align} \arg z &= \arctan \links(\frac{-4}{1}\rechts)\\\ &= \arctan \links(-4\rechts) \\\ &= -1,33 \text{ radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Videobeispiel
Prof. Robin Johnson zeichnet die komplexen Zahlen $z=-1-i$ und $z=-4+3i$ in ein Argand-Diagramm und findet deren Modulus und Argument.
Workbook
Dieses von HELM produzierte Arbeitsbuch ist eine gute Wiederholungshilfe, die wichtige Punkte zur Wiederholung und viele Arbeitsbeispiele enthält.
- Argand-Diagramme und Polarform
Test Yourself
Test yourself: Numbas Test zur Bestimmung des Moduls und des Arguments