Negation
Manchmal ist es in der Mathematik wichtig zu bestimmen, was das Gegenteil einer bestimmten mathematischen Aussage ist. Dies wird gewöhnlich als „Negation“ einer Aussage bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass, wenn eine Aussage wahr ist, ihre Negation falsch ist (und wenn eine Aussage falsch ist, ist ihre Negation wahr).
Werfen wir einen Blick auf einige der häufigsten Negationen.
Negation von „A oder B“.
Bevor wir die Antwort geben, versuchen wir es an einem Beispiel.
Betrachten wir die Aussage „Du bist entweder reich oder glücklich.“ Damit diese Aussage falsch ist, kann man nicht reich sein und man kann nicht glücklich sein. Mit anderen Worten, das Gegenteil ist, nicht reich und nicht glücklich zu sein. Oder wenn wir es in Bezug auf die ursprüngliche Aussage umschreiben, erhalten wir „Du bist nicht reich und nicht glücklich.“
Wenn wir A die Aussage „Du bist reich“ und B die Aussage „Du bist glücklich“ sein lassen, dann wird die Negation von „A oder B“ zu „Nicht A und nicht B.“
Im Allgemeinen haben wir dieselbe Aussage: Die Negation von „A oder B“ ist die Aussage „Nicht A und nicht B.“
Negation von „A und B“.
Lassen Sie uns zunächst ein Beispiel analysieren.
Betrachten Sie die Aussage „Ich bin sowohl reich als auch glücklich.“ Damit diese Aussage falsch ist, könnte ich entweder nicht reich oder nicht glücklich sein. Wenn wir A die Aussage „Ich bin reich“ und B die Aussage „Ich bin glücklich“ sein lassen, dann wird die Negation von „A und B“ zu „Ich bin nicht reich oder ich bin nicht glücklich“ oder „Nicht A oder nicht B“.
Negation von „Wenn A, dann B“.
Um eine Aussage der Form „Wenn A, dann B“ zu negieren, sollten wir sie durch die Aussage „A und nicht B“ ersetzen. Das mag auf den ersten Blick verwirrend erscheinen, also schauen wir uns ein einfaches Beispiel an, um zu verstehen, warum dies das Richtige ist.
Betrachten Sie die Aussage „Wenn ich reich bin, dann bin ich glücklich.“ Damit diese Aussage falsch ist, müsste ich reich und nicht glücklich sein. Wenn A die Aussage „Ich bin reich“ und B die Aussage „Ich bin glücklich“ ist, dann ist die Negation von „A $\Rightarrow$ B“ „Ich bin reich“ = A, und „Ich bin nicht glücklich“ = nicht B.
So wird die Negation von „wenn A, dann B“ zu „A und nicht B“.
Beispiel.
Betrachten wir nun eine Aussage, die etwas Mathematik beinhaltet. Nehmen wir die Aussage „Wenn n gerade ist, dann ist $\frac{n}{2}$ eine ganze Zahl.“ Damit diese Aussage falsch ist, müssten wir eine gerade ganze Zahl $n$ finden, für die $\frac{n}{2}$ keine ganze Zahl ist. Das Gegenteil dieser Aussage ist also die Aussage: „$n$ ist gerade und $\frac{n}{2}$ ist keine ganze Zahl.“
Negation von „Für jeden …“, „Für alle …“, „Es gibt …“
Manchmal begegnen uns in mathematischen Aussagen Ausdrücke wie „für jeden“, „für jeden“, „für alle“ und „es gibt“.
Beispiel.
Betrachten wir die Aussage „Für alle ganzen Zahlen $n$ ist entweder $n$ gerade oder $n$ ungerade“.Obwohl die Formulierung etwas anders ist, ist dies eine Aussage der Form „Wenn A, dann B.“ Wir können diesen Satz wie folgt umformulieren: „Wenn $n$ eine beliebige ganze Zahl ist, dann ist entweder $n$ gerade oder $n$ ungerade.“
Wie würde man diese Aussage negieren? Damit diese Aussage falsch ist, müssten wir nur eine einzige ganze Zahl finden, die nicht gerade und nicht ungerade ist. Mit anderen Worten, die Negation ist die Aussage „Es gibt eine ganze Zahl $n$, so dass $n$ nicht gerade und $n$ nicht ungerade ist.“
Im Allgemeinen wird bei der Negation einer Aussage, die „für alle“, „für jeden“ beinhaltet, der Ausdruck „für alle“ durch „es gibt“ ersetzt. In ähnlicher Weise wird bei der Verneinung einer Aussage, die „es gibt“ beinhaltet, der Ausdruck „es gibt“ durch „für alle“ oder „für alle“ ersetzt.
Beispiel. Verneine die Aussage „Wenn alle reichen Menschen glücklich sind, dann sind alle armen Menschen traurig.“
Erstens hat diese Aussage die Form „Wenn A, dann B“, wobei A die Aussage „Alle reichen Menschen sind glücklich“ ist und B die Aussage „Alle armen Menschen sind traurig.“ Die Negation hat also die Form „A und nicht B“. Wir müssen also B negieren. Die Negation der Aussage B ist „Es gibt einen armen Menschen, der nicht traurig ist.“
Zusammengesetzt ergibt dies: „Alle reichen Menschen sind glücklich, aber es gibt einen armen Menschen, der nicht traurig ist“ als Negation von „Wenn alle reichen Menschen glücklich sind, dann sind alle armen Menschen traurig.“
Zusammenfassung.
| Aussage | Negation |
| „A oder B“ | „nicht A und nicht B“ |
| „A und B“ | „nicht A oder nicht B“ |
| „wenn A, dann B“ | „A und nicht B“ |
| „Für alle x, A(x)“ | „Es existiert x so, dass nicht A(x)“ |
| „Es existiert x so, dass A(x)“ | „Für jedes x, nicht A(x)“ |