Linearität

In der Mathematik ist eine lineare Abbildung oder lineare Funktion f(x) eine Funktion, die die beiden Eigenschaften erfüllt:

• Additivität: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Homogenität vom Grad 1: f(αx) = α f(x) für alle α.

Diese Eigenschaften sind als Überlagerungsprinzip bekannt. In dieser Definition ist x nicht notwendigerweise eine reelle Zahl, sondern kann im Allgemeinen ein Element eines beliebigen Vektorraums sein. Eine speziellere Definition der linearen Funktion, die nicht mit der Definition der linearen Abbildung übereinstimmt, wird in der elementaren Mathematik verwendet (siehe unten).

Die Additivität allein impliziert Homogenität für rationales α, da f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}

impliziert f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}

für jede natürliche Zahl n durch mathematische Induktion, und dann n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}

impliziert f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}

. Die Dichte der rationalen Zahlen in den Realen impliziert, dass jede additive stetige Funktion für jede reelle Zahl α homogen ist und daher linear ist.

Das Konzept der Linearität kann auf lineare Operatoren ausgedehnt werden. Wichtige Beispiele für lineare Operatoren sind die Ableitung als Differentialoperator und andere daraus abgeleitete Operatoren wie del und die Laplacian. Wenn eine Differentialgleichung in linearer Form ausgedrückt werden kann, kann sie im Allgemeinen gelöst werden, indem man die Gleichung in kleinere Teile zerlegt, jeden dieser Teile löst und die Lösungen addiert.

Lineare Algebra ist der Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von Vektoren, Vektorräumen (auch „lineare Räume“ genannt), linearen Transformationen (auch „lineare Karten“ genannt) und Systemen linearer Gleichungen befasst.

Für eine Beschreibung linearer und nichtlinearer Gleichungen, siehe lineare Gleichung.

Lineare PolynomeBearbeiten

In einer von der obigen Definition abweichenden Verwendung wird ein Polynom vom Grad 1 als linear bezeichnet, weil der Graph einer Funktion dieser Form eine Gerade ist.

Über die Reellen ist eine lineare Gleichung eine der Formen:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }

wobei m oft als Steigung oder Gradient bezeichnet wird; b ist der y-Achsenabschnitt, der den Schnittpunkt zwischen dem Graphen der Funktion und der y-Achse angibt.

Beachte, dass diese Verwendung des Begriffs linear nicht die gleiche ist wie im obigen Abschnitt, da lineare Polynome über den reellen Zahlen im Allgemeinen weder die Additivität noch die Homogenität erfüllen. Wenn b ≠ 0 ist, wird die Funktion daher oft als affine Funktion bezeichnet (siehe allgemeinere affine Transformation).

Boolesche FunktionenEdit

In der Booleschen Algebra ist eine lineare Funktion eine Funktion f {\displaystyle f}

, für die es a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}

so dass f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}

, wobei b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}

Beachte, dass wenn a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

, wird die obige Funktion in der linearen Algebra als affin (d.h. nicht linear) betrachtet.

Eine boolesche Funktion ist linear, wenn eine der folgenden Bedingungen für die Wahrheitstabelle der Funktion gilt:

1. In jeder Zeile, in der der Wahrheitswert der Funktion T ist, ist den Argumenten eine ungerade Anzahl von Ts zugeordnet, und in jeder Zeile, in der die Funktion F ist, ist den Argumenten eine gerade Anzahl von Ts zugeordnet. Genauer gesagt, f(F, F, …, F) = F, und diese Funktionen entsprechen linearen Abbildungen über dem booleschen Vektorraum.
2. In jeder Zeile, in der der Wert der Funktion T ist, ist den Argumenten der Funktion eine gerade Anzahl von Ts zugeordnet; und in jeder Zeile, in der der Wahrheitswert der Funktion F ist, ist den Argumenten eine ungerade Anzahl von Ts zugeordnet. In diesem Fall ist f(F, F, …, F) = T.

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass jede Variable immer einen Unterschied im Wahrheitswert der Operation macht oder dass sie nie einen Unterschied macht.

Negation, logisches Zweibedingungsprinzip, exklusives Oder, Tautologie und Widerspruch sind lineare Funktionen.