Was ist Null hoch Null? Diese Frage wurde mehr als 35 Milliarden und 378 Millionen Mal gestellt. Und 98% der Menschen haben sie nicht richtig beantwortet.
Zuerst, was bedeutet 2⁵? Es bedeutet 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2. Mit anderen Worten, multipliziere 2 mit sich selbst 5 mal. Jetzt können wir sagen, dass 0⁰ „Null mit sich selbst 0 mal multiplizieren“ bedeutet. Hmmm, das ist umständlich.
Lassen Sie uns in andere Richtungen gehen und die anderen Potenzen finden.
Wenn wir eine Exponentialgleichung wie 0⁹ = 0 sehen, werden wir sagen „Null zur neunten Potenz ist Null“.
Es sieht aus wie 0⁰ = 0. Aber 0 zur -5ten Potenz ist 1 über 0, was undefiniert ist, und dasselbe mit 0 zur -100ten Potenz. Die negativen Exponenten zeigen an, dass 0⁰ undefiniert sein sollte.
Lassen Sie uns dies aus einem anderen Blickwinkel betrachten. Andere Zahlen, die auf 0 erhöht werden, sind gleich 1.
Dieses Muster zeigt, dass 0⁰ auch 1 sein sollte. Es sieht also so aus, als gäbe es nicht unbedingt eine bestimmte exakte Lösung? Welche ist genau? Nichtsdestotrotz kann je nach Situation eine Antwort besser sein als die anderen. Die beste Erklärung sollte zuverlässig sein, unnötige Komplexität reduzieren und vorteilhaft sein.
Die meisten Theoretiker entscheiden, dass in vielen Fällen 1 die beste Definition für 0⁰ ist. Schauen wir uns zwei Gründe dafür an. a Erhöhung auf b kann als die Anzahl der Mengen von b Elementen betrachtet werden, die aus einer Menge von a Elementen gewählt werden können.
Zum Beispiel kann 2¹ als die Anzahl der Mengen von einem Element betrachtet werden, die aus der Menge von zwei Elementen gewählt werden können.
Und 0⁰ ist die Menge der Mengen von Nullelementen, die aus einer Menge von Nullelementen ausgewählt werden können. Das muss 1 sein! 1 ist also die einzige Definition, die bei diesem Verständnis der Potenzierung zuverlässig ist.
In dieser Perspektive würde jede andere Definition die Dinge unnötig verwirren. Für einen weiteren Fall, in dem 0⁰= 1 eine vorteilhafte Definition ist, betrachten wir die binomische Aussage.
Da x = 0 ist, vereinfacht sich dies zu 1 = 0⁰ – 1. In diesem Punkt ist die einzige Erklärung für 0⁰, die die binomische Aussage korrekt konstruiert, 1. Auch hier ist 0⁰= 1 die einzige Definition, die unnötige Komplexität vermeidet. Doch je nach der Art der Mathematik, die wir betreiben, ist 1 vielleicht nicht immer die beste Definition.
Betrachten wir zum Beispiel einige Grenzwerte. Der Grenzwert einer Funktion am Punkt a ist der Wert, dem sich die Funktion nähert, wenn sich ihre Eingabe a nähert. Wir haben es mit Grenzwerten der Form 0⁰ zu tun, wenn x = 0 ist. Ein einfacher Grenzwert ist der Grenzwert von x⁰, wenn sich x 0 nähert. Da x⁰ an allen anderen Punkten = 1 ist, ist sein Grenzwert bei 0 ebenfalls 1. Dies scheint zu bestätigen, dass 0⁰ = 1 ist.
Allerdings gibt es auch andere Grenzwerte der Form 0⁰ mit anderen Werten! Der Grenzwert der Erhöhung von 0 auf x von rechts ist 0… Und von links ist er undefiniert. Und andere Grenzwerte der Form 0⁰ können jeden beliebigen Wert haben, wie dieser hier, der e ist.
Diese Konflikte sind gute Gründe, 0⁰ eine „unbestimmte Form“ oder „undefiniert“ zu nennen, wenn man mit Grenzwerten umgeht. Dies sind die einzigen Definitionen, die mit der Art und Weise, wie wir Grenzen definieren, übereinstimmen.
Was ist also 0⁰? Es kommt darauf an! Oft ist die 1 die beste Antwort. Wenn es aber um Grenzen geht, ist „undefiniert“ oder „unbestimmte Form“ sinnvoller. Je nach Art der Mathematik, die wir betreiben, können sich sogar Definitionen und Konventionen ändern!