Von Benjamin Skuse
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Separatrix-Trennung
Ein Pendel kann entweder von einer Seite zur anderen schwingen oder sich in einem kontinuierlichen Kreis drehen. Der Punkt, an dem es von einer Bewegungsart in die andere übergeht, wird Separatrix genannt und kann in den meisten einfachen Situationen berechnet werden. Wenn das Pendel jedoch mit einer nahezu konstanten Geschwindigkeit angetrieben wird, bricht die Mathematik zusammen. Gibt es eine Gleichung, die diese Art von Separatrix beschreiben kann?
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Navier-Stokes
Die Navier-Stokes-Gleichungen, die 1822 entwickelt wurden, werden zur Beschreibung der Bewegung viskoser Flüssigkeiten verwendet. So wie Luft, die über eine Flugzeugtragfläche strömt, oder Wasser, das aus einem Wasserhahn fließt. Aber es gibt bestimmte Situationen, in denen es unklar ist, ob die Gleichungen versagen oder überhaupt keine Antwort geben. Viele Mathematiker haben versucht – und sind gescheitert -, dieses Problem zu lösen, darunter auch Mukhtarbay Otelbaev von der Eurasischen Nationalen Universität in Astana, Kasachstan. Im Jahr 2014 behauptete er, eine Lösung gefunden zu haben, zog diese aber später wieder zurück. Dies ist ein Problem, das mehr als nur Prestige wert ist. Es ist auch eines der Millennium-Preis-Probleme, was bedeutet, dass jeder, der es löst, ein Preisgeld von 1 Million Dollar beanspruchen kann.
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Exponenten und Dimensionen
Stellen Sie sich einen Spritzer Parfüm vor, der sich in einem Raum verteilt. Die Bewegung jedes einzelnen Moleküls ist zufällig, ein Prozess, der als Brownsche Bewegung bezeichnet wird, auch wenn die Art und Weise, wie das Gas insgesamt verweht, vorhersehbar ist. Es gibt eine mathematische Sprache, die solche Vorgänge beschreiben kann, allerdings nicht perfekt. Sie kann exakte Lösungen liefern, indem sie ihre eigenen Regeln verbiegt, oder sie kann streng bleiben, aber nie ganz die exakte Lösung erreichen. Kann sie jemals beides erfüllen? Das ist die Frage, die sich beim Problem der Exponenten und Dimensionen stellt. Neben dem Quanten-Hall-Leitwertproblem ist dies das einzige auf der Liste, das zumindest teilweise gelöst ist. Im Jahr 2000 bewiesen Gregory Lawler, Oded Schramm und Wendelin Werner, dass exakte Lösungen für zwei Probleme der Brownschen Bewegung gefunden werden können, ohne die Regeln zu verbiegen. Dafür erhielten sie die Fields-Medaille, das mathematische Äquivalent zum Nobelpreis. In jüngerer Zeit hat Stanislav Smirnov von der Universität Genf in der Schweiz ein ähnliches Problem gelöst, wofür er 2010 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde.
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Unmöglichkeitssätze
Es gibt viele mathematische Ausdrücke, die keine exakte Lösung haben. Nehmen wir eine der berühmtesten Zahlen überhaupt, Pi, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser ist. Der Nachweis, dass es unmöglich ist, dass die Nachkommastellen von pi jemals enden, war einer der größten Beiträge zur Mathematik. In ähnlicher Weise sagen Physiker, dass es unmöglich ist, Lösungen für bestimmte Probleme zu finden, wie z. B. die genauen Energien der Elektronen, die ein Heliumatom umkreisen. Aber können wir diese Unmöglichkeit beweisen?
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Spin Glas
Um dieses Problem zu verstehen, muss man den Spin kennen, eine quantenmechanische Eigenschaft von Atomen und Teilchen wie Elektronen, die dem Magnetismus zugrunde liegt. Man kann ihn sich wie einen Pfeil vorstellen, der nach oben oder unten zeigen kann. Elektronen in Materialblöcken sind am glücklichsten, wenn sie neben Elektronen sitzen, die den entgegengesetzten Spin haben, aber es gibt einige Anordnungen, bei denen das nicht möglich ist. In diesen frustrierten Magneten drehen sich die Spins oft willkürlich um, und zwar auf eine Art und Weise, die, wie sich herausgestellt hat, ein nützliches Modell für andere ungeordnete Systeme ist, einschließlich der Finanzmärkte. Wir haben jedoch nur begrenzte Möglichkeiten, das Verhalten solcher Systeme mathematisch zu beschreiben. Die Spin-Glass-Frage geht der Frage nach, ob wir einen guten Weg finden können, dies zu tun.
– Siehe die vollständige Liste der ungelösten Probleme: Offene Probleme in der mathematischen Physik
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