Por Benjamin Skuse
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Separatrix Separation
Um pêndulo em movimento pode oscilar de um lado para o outro ou girar num círculo contínuo. O ponto em que ele vai de um tipo de movimento para o outro é chamado de separatrix, e isso pode ser calculado na maioria das situações simples. No entanto, quando o pêndulo é pressionado a uma velocidade quase constante, a matemática se desfaz. Existe alguma equação que possa descrever esse tipo de separatrix?
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Navier-Stokes
As equações Navier-Stokes, desenvolvidas em 1822, são usadas para descrever o movimento do fluido viscoso. Coisas como ar passando sobre uma asa de avião ou água saindo de uma torneira. Mas há certas situações em que não está claro se as equações falham ou não dão nenhuma resposta. Muitos matemáticos têm tentado – e falhado – resolver o assunto, incluindo Mukhtarbay Otelbaev da Universidade Nacional Eurasiática em Astana, Cazaquistão. Em 2014, ele reivindicou uma solução, mas mais tarde a retraiu. Este é um problema que vale mais do que apenas o prestígio. É também um dos Problemas do Prêmio Millennium, o que significa que qualquer um que o resolve pode reivindicar um milhão de dólares em dinheiro de prêmio.
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Exponentes e dimensões
Imagine um esguicho de perfume se difundindo por uma sala. O movimento de cada molécula é aleatório, um processo chamado movimento Browniano, mesmo que a forma como os bolachas de gás em geral são previsíveis. Existe uma linguagem matemática que pode descrever coisas como esta, mas não perfeitamente. Ele pode fornecer soluções exatas dobrando suas próprias regras ou pode permanecer rígido, mas nunca chegar à solução exata. Poderia alguma vez assinalar as duas caixas? É isso que os expoentes e o problema das dimensões perguntam. Além do problema de conduta Quantum Hall, este é o único na lista que é, pelo menos parcialmente, resolvido. Em 2000, Gregory Lawler, Oded Schramm e Wendelin Werner provaram que soluções exatas para dois problemas no movimento Brownian podem ser encontradas sem dobrar as regras. Ganhou-lhes uma medalha Fields, o equivalente em matemática a um Prémio Nobel. Mais recentemente, Stanislav Smirnov da Universidade de Genebra, na Suíça, resolveu um problema relacionado, o que resultou em ele receber a medalha Fields em 2010.
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Teoremas de Impossibilidade
Existem muitas expressões matemáticas que não têm solução exata. Pegue um dos números mais famosos de sempre, pi, que é a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Provar que era impossível que os dígitos de pi após o ponto decimal terminassem foi uma das maiores contribuições para a matemática. Os físicos também dizem que é impossível encontrar soluções para certos problemas, como encontrar as energias exatas dos elétrons orbitando um átomo de hélio. Mas podemos provar essa impossibilidade?
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Pino de vidro
Para compreender este problema, é preciso conhecer o spin, uma propriedade mecânica quântica de átomos e partículas como os elétrons, que está subjacente ao magnetismo. Você pode pensar nisso como uma seta que pode apontar para cima ou para baixo. Elétrons dentro de blocos de materiais são mais felizes se eles se sentam ao lado de elétrons que têm o giro oposto, mas há alguns arranjos onde isso não é possível. Nesses ímãs frustrados, os giros muitas vezes giram ao acaso de uma forma que, ao que parece, é um modelo útil de outros sistemas desordenados, incluindo os mercados financeiros. Mas temos formas limitadas de descrever matematicamente como sistemas como este se comportam. Esta pergunta de vidro giratório pergunta se podemos encontrar uma boa maneira de fazê-lo.
– Veja a lista completa de problemas não resolvidos: Problemas abertos em Física Matemática
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