Co je nula zvýšená na mocninu nuly? To je otázka, která byla položena více než 35 miliard a 378 milionůkrát. A 98 % lidí na ni neodpovědělo správně.
Předně, co znamená 2⁵? Znamená to 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2. Jinými slovy, vynásobte 2 sebou samým 5krát. Nyní můžeme říci, že 0⁰ znamená „vynásobit nulu sebou samou 0krát“. Hmmm, to je trapné.
Přejděme k jiným směrům a najděme další mocniny.
Jakmile uvidíme exponenciální rovnici, například 0⁹ = 0 , řekneme „nula na devátou mocninu je nula“.
Vypadá to jako 0⁰ = 0. Ale 0 na -5. mocninu je 1 nad 0, což je neurčité, a stejně tak 0 na -100. mocninu. Záporné exponenty naznačují, že 0⁰ by měla být neurčitá.
Napadneme to z jiného úhlu. Ostatní čísla zvýšená na 0 se rovnají 1.
Tento vzoreček naznačuje, že 0⁰ by měla být také 1.
Několik příkladů čísel zvýšených o mocninu nuly. Vypadá to tedy, že konkrétní přesné řešení určitě neexistuje? Které je přesné? Nicméně v závislosti na situaci můžete pracovat v jedna odpověď může být lepší než ostatní. Nejlepší vysvětlení by mělo být spolehlivé, snižovat zbytečnou složitost a být přínosné.
Většina teoretiků se rozhodla, že v mnoha případech je 1 nejlepší definicí pro 0⁰. Podívejme se na dva důvody, proč tomu tak je. a zvýšení na b lze pozorovat jako množství množin prvků b, které lze vybrat z množiny prvků a.
Například 2¹ lze pozorovat jako množství množin jednoho prvku, které lze vybrat z množiny dvou prvků.
A 0⁰ je množství množin nulových prvků, které lze vybrat z množiny nulových prvků. Což musí být 1! Takže 1 je jediná definice spolehlivá při tomto chápání exponenciály.
Z tohoto pohledu by jakákoli jiná definice věci zbytečně zamotávala. Pro další případ, kdy je 0⁰ = 1 výhodnou definicí, se podívejme na binomický výrok.
Jelikož x = 0, zjednoduší se to na 1 = 0⁰ – 1. To znamená, že 1 = 0⁰. V této položce je jediným vysvětlením pro 0⁰, které správně konstruuje binomický výrok, 1. Opět 0⁰ = 1 je jediná definice, která se vyhýbá zbytečné složitosti. Přesto v závislosti na druhu matematiky, kterou se zabýváme, nemusí být 1 trvale tou nejlepší definicí.
Podívejme se například na některé limity. Limita funkce v bodě a je hodnota, ke které se funkce blíží, když se její vstup blíží k bodu a. Zabýváme se limity tvaru 0⁰, když x = 0. Jednoduchá je limita x⁰, když se x blíží k 0. Protože x⁰ = 1 ve všech ostatních bodech, je její limita v bodě 0 také 1. Tím je zřejmě ověřeno, že 0⁰ = 1.
Naproti tomu existují i jiné limity tvaru 0⁰ s jinými hodnotami! Limita 0 zvýšená na x zprava je 0… A zleva je neurčitá. A jiné limity tvaru 0⁰mohou mít libovolnou hodnotu jako tato, která je e.
Tyto konflikty jsou dobrým důvodem, proč při práci s limity nazývat 0⁰ „neurčitým tvarem“ nebo „neurčitým“. To jsou jediné definice, které jsou v souladu s tím, jak definujeme limity.
Takže co je 0⁰? Záleží na tom! Často je nejlepší odpovědí 1. Při práci s limity je však „neurčitý“ nebo „neurčitý tvar“ os smysluplnější. V závislosti na typu matematiky, kterou se zabýváme, se mohou měnit i definice a konvence!