Přepnout hlavní menuPřepnout vyhledávání
Modul a argument
Argandův diagram
Definice
Argandův diagram má vodorovnou osu, označovanou jako reálná osa, a svislou osu, označovanou jako imaginární osa.
Komplexní číslo $z = a + bi$ je vyneseno na souřadnicích $(a,b)$, protože $a$ je reálná část komplexního čísla a $b$ imaginární část.
|centr
Pracovní příklad
Příklad 1
Nakreslete následující komplexní čísla do Argandova diagramu.
\začátek{zarovnání} z_1 &= 3+i \\ z_2 &= -2-4i \\ z_3 &=-1+3i \\ z_4 &= -2i \end{align}
Řešení
Modul a argument
Definice
Každé komplexní číslo $z$ lze znázornit bodem na Argandově diagramu. Tento bod můžeme spojit s počátkem úsečkou. Délka úsečky se nazývá modul komplexního čísla a značí se $\lvert z \rvert$. Úhel měřený od kladné reálné osy k úsečce se nazývá argument komplexního čísla, značí se $arg(z)$ a často se označuje $\theta$. Modul a argument lze vypočítat pomocí trigonometrie.
|centr
Modul komplexního čísla $z = a + b i$ je \
Při výpočtu argumentu komplexního čísla je třeba se rozhodnout, zda budeme brát hodnoty v rozsahu $$ nebo v rozsahu $$. Obě možnosti jsou rovnocenné a stejně platné. Na této stránce budeme používat konvenci $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
„Naivní“ způsob výpočtu úhlu k bodu $(a,b)$ je použít $\arctan(\frac{b}{a})$, ale protože $\arctan$ bere hodnoty pouze v rozsahu $$, dá to špatný výsledek pro souřadnice se zápornou složkou $x$. To lze napravit přičtením nebo odečtením $\pi$ podle toho, ve kterém kvadrantu Argandova diagramu bod leží.
- První kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}}\right)$.
- Druhý kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
- Třetí kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
- Čtvrtý kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Při rozhodování, který vzorec použít, je dobré nakreslit Argandův diagram komplexního čísla.
Poznámka: pozor na případ, kdy $a=0$, tj. komplexní číslo nemá reálnou část. V takovém případě metoda $\arctan$ nefunguje, ale argumentem je buď $\frac{\pi}{2}$, nebo $-\frac{\pi}{2}$ pro čísla s kladnou, resp. zápornou imaginární částí.
Příklad
$z_1=1+i$ má argument \
Tentýž výpočet pro $z_2=-1-i$ však dává $\arctan \left(\frac{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, tedy stejné číslo!
Nakreslíme-li $z_2$ do Argandova diagramu, vidíme, že spadá do třetího kvadrantu, takže argument by měl být mezi $-\frac{\pi}{2}$ a $-\pi$. Pro opravu musíme odečíst $\pi$, a proto dostaneme $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Pracovní příklady
Příklad 1
Najděte modul a argument komplexního čísla $z = 3+2i$.
Řešení
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\ &=\sqrt{9+4}\\ &=\sqrt{13} \end{align}
Jelikož komplexní číslo leží v prvním kvadrantu Argandova diagramu, můžeme k nalezení argumentu bez úprav použít $\arctan \frac{2}{3}$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\ &=0,59 \text{ radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Příklad 2
Zjistěte modul a argument komplexního čísla $z=4i$.
Řešení
|centr
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\ &=\sqrt{16}\\ &=4 \end{align}
Nejjednodušší způsob, jak najít argument, je podívat se na Argandův diagram a nakreslit bod $(0,4)$. Bod leží na kladné svislé ose, takže \
Příklad 3
Najděte modul a argument komplexního čísla $z = -2+5i$.
Řešení
|centr
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\ &=\sqrt{4+25}\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Jelikož $z$ je ve druhém kvadrantu Argandova diagramu, musíme k výsledku získanému z $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$ přičíst $\pi$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\right) + \pi \\ &=-1,19 + \pi \\ &= 1,95 \text{ radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Příklad 4
Zjistěte modul a argument komplexního čísla $z = -4-3i$.
Řešení
|centr
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align}
Jak $z$ leží ve třetím kvadrantu Argandova diagramu, musíme od výsledku $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$ odečíst $\pi$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\ &= \arctan \left(\frac{3}{4}\right) – \pi\\ &= 0,64 – \pi \\ &= -2,50 \text{ radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Poznámka: Alternativně bychom mohli dát odpověď v rozsahu $0 \lt \theta \lt 2\pi$, kde bychom místo odečítání přičetli $\pi$ a dostali odpověď $\arg z = 3,67$ radiánů (na 2 d.p.).p.)
Příklad 5
Zjistěte modul a argument komplexního čísla $z = 1-4i$.
Řešení
|centr
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\ &=\sqrt{1+16}\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Jelikož $z$ leží ve čtvrtém kvadrantu Argandova diagramu, nemusíme pro nalezení argumentu upravovat výsledek $\arctan \left(\frac{-4}{1}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\ &= \arctan \left(-4\right) \\ &= -1,33 \text{ radians (to 2 d.p.)} \end{align}
Video příklad
Prof. Robin Johnson nakreslí komplexní čísla $z=-1-i$ a $z=-4+3i$ na Argandův diagram a zjistí jejich modul a argument.
Cvičebnice
Tato cvičebnice vydaná společností HELM je dobrou pomůckou k opakování, obsahuje klíčové body k opakování a mnoho řešených příkladů.
- Argandovy diagramy a polární tvar
Vyzkoušejte se
Vyzkoušejte se: Numbasův test na zjištění modulu a argumentu