Negace
V matematice je někdy důležité určit, co je opakem daného matematického výroku. To se obvykle označuje jako „negace“ výroku. Je třeba mít na paměti, že pokud je výrok pravdivý, pak je jeho negace nepravdivá (a pokud je výrok nepravdivý, pak je jeho negace pravdivá).
Podívejme se na některé nejběžnější negace.
Negace „A nebo B“.
Než uvedeme odpověď, zkusme to udělat na příkladu.
Považujme výrok „Buď jsi bohatý, nebo šťastný“. Aby byl tento výrok nepravdivý, nemůžeš být bohatý a nemůžeš být šťastný. Jinými slovy, opakem je nebýt bohatý a nebýt šťastný. Nebo když to přepíšeme v termínech původního výroku, dostaneme „Nejsi bohatý a nejsi šťastný“.
Pokud necháme A jako výrok „Jsi bohatý“ a B jako výrok „Jsi šťastný“, pak se negace „A nebo B“ stane „Není A a není B.“
Všeobecně máme stejný výrok: Negace výroku „A nebo B“ je výrok „Není A a není B.“
Negace výroku „A a B“.
Znovu si nejprve rozebereme příklad:
Považujme výrok „Jsem bohatý i šťastný“. Aby byl tento výrok nepravdivý, mohl bych buď nebýt bohatý, nebo nebýt šťastný. Necháme-li A jako výrok „Jsem bohatý“ a B jako výrok „Jsem šťastný“, pak se negace „A i B“ stane „Nejsem bohatý nebo nejsem šťastný“ neboli „Není A ani není B“.
Negace „Je-li A, pak B“.
Chceme-li negovat výrok tvaru „Jestliže A, pak B“, měli bychom jej nahradit výrokem „A a Ne B“. To se může zdát na první pohled matoucí, proto se podívejme na jednoduchý příklad, který nám pomůže pochopit, proč je to správné.
Považujme výrok „Jsem-li bohatý, pak jsem šťastný“. Aby toto tvrzení bylo nepravdivé, musel bych být bohatý a ne šťastný. Jestliže Aje výrok „jsem bohatý“ a B je výrok „jsem šťastný,“ pak negace „A $\Pravda$ B“ je „jsem bohatý“ = A a „nejsem šťastný“ = ne B.
Takže negace „jestliže A, pak B“ se stává „A a ne B“.
Příklad.
Nyní uvažujme o výroku zahrnujícím nějakou matematiku. Vezměme výrok „Je-li n sudé, pak $\frac{n}{2}$ je celé číslo“. Aby byl tento výrok nepravdivý, museli bychom najít sudé celé číslo $n$, pro které by $\frac{n}{2}$ nebylo celé číslo. Opakem tohoto tvrzení je tedy tvrzení, že „$n$ je sudé a $\frac{n}{2}$ není celé číslo.“
Negace „Pro každé …“, „Pro všechny …“, „Existuje …“
Někdy se v matematických tvrzeních setkáváme s výrazy jako „pro každé“, „pro libovolné“, „pro všechny“ a „existuje“.
Příklad.
Přemýšlejme o výroku „Pro všechna celá čísla $n$ platí, že buď $n$ je sudé, nebo $n$ je liché.“ I když je formulace trochu jiná, jedná se o výrok ve tvaru „Jestliže A, pak B“. Tuto větu můžeme přeformulovat takto: „Je-li $n$ libovolné celé číslo, pak je buď $n$ sudé, nebo $n$ liché.“
Jak bychom tento výrok negovali? Aby byl tento výrok nepravdivý, stačilo by najít jediné celé číslo, které není sudé ani liché. Jinými slovy, negací je výrok „Existuje celé číslo $n$, takže $n$ není sudé a $n$ není liché.“
Obecně při negaci výroku zahrnujícího „pro všechny“, „pro každý“ se výraz „pro všechny“ nahrazuje výrazem „existuje“. Podobně při negaci výroku zahrnujícího „existuje“ se výraz „existuje“ nahradí výrazem „pro každý“ nebo „pro všechny“.
Příklad. Negace výroku „Jsou-li všichni bohatí lidé šťastní, pak jsou všichni chudí lidé smutní“.
Nejprve má tento výrok tvar „Jestliže A, pak B“, kde A je výrok „Všichni bohatí lidé jsou šťastní“ a B je výrok „Všichni chudí lidé jsou smutní“. Negace má tedy tvar „A a ne B“. Budeme tedy muset negovat B. Negace výroku B je „Existuje chudý člověk, který není smutný“.
Složíme-li to dohromady, dostaneme: „Všichni bohatí lidé jsou šťastní, ale existuje chudý člověk, který není smutný“ jako negace výroku „Jsou-li všichni bohatí lidé šťastní, pak jsou všichni chudí lidé smutní.“
Shrnutí.
| Výrok | Negace |
| „A nebo B“ | „není A a není B“ |
| „A a B“ | „není A nebo není B“ |
| „jestliže A, pak B“ | „A a ne B“ |
| „Pro všechna x, A(x)“ | „Existuje x takové, že ne A(x)“ |
| „Existuje x takové, že A(x)“. | „Pro každé x platí, že ne A(x)“ |