V matematice je lineární mapa nebo lineární funkce f(x) funkce, která splňuje dvě vlastnosti:
- Aditivita: f(x + y) = f(x) + f(y).
- Homogenita stupně 1: f(αx) = α f(x) pro všechna α.
Tyto vlastnosti jsou známy jako princip superpozice. V této definici nemusí být x nutně reálné číslo, ale může to být obecně prvek libovolného vektorového prostoru. V elementární matematice se používá speciálnější definice lineární funkce, která se neshoduje s definicí lineární mapy (viz níže).
Sama aditivita implikuje homogenitu pro racionální α, protože f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}.
vyplývá f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}
pro libovolné přirozené číslo n matematickou indukcí, a pak n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}
vyplývá f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}
. Z hustoty racionálních čísel v reálu vyplývá, že každá aditivní spojitá funkce je homogenní pro každé reálné číslo α, a je tedy lineární.
Pojem linearity lze rozšířit na lineární operátory. Mezi důležité příklady lineárních operátorů patří derivace uvažovaná jako diferenciální operátor a další operátory z ní zkonstruované, například del a Laplacián. Pokud lze diferenciální rovnici vyjádřit v lineárním tvaru, lze ji obecně řešit rozdělením rovnice na menší části, řešením každé z těchto částí a součtem řešení.
Lineární algebra je odvětví matematiky zabývající se studiem vektorů, vektorových prostorů (nazývaných také „lineární prostory“), lineárních transformací (nazývaných také „lineární mapy“) a soustav lineárních rovnic.
Popis lineárních a nelineárních rovnic viz lineární rovnice.
Lineární polynomyUpravit
V jiném použití než u výše uvedené definice se říká, že polynom stupně 1 je lineární, protože grafem funkce tohoto tvaru je přímka.
Na reálných hodnotách je lineární rovnice jedním ze tvarů:
f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }
kde m se často nazývá sklon nebo gradient; b je y-intercept, který udává průsečík grafu funkce s osou y.
Poznamenejme, že toto použití termínu lineární není stejné jako v předchozí části, protože lineární polynomy nad reálnými čísly obecně nesplňují ani aditivitu, ani homogenitu. Ve skutečnosti to splňují tehdy a jen tehdy, když b = 0. Proto se v případě, že b ≠ 0, funkce často nazývá afinní funkce (viz obecněji afinní transformace).
Booleovské funkceEdit
V booleovské algebře je lineární funkce funkce f {\displayystyle f}.
pro kterou existují a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}.
takové, že f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}
, kde b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displayystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}
Všimněte si, že pokud a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}
, výše uvedená funkce se v lineární algebře považuje za afinní (tj. není lineární).
Boleova funkce je lineární, jestliže pro pravdivostní tabulku funkce platí jedna z následujících možností:
- V každém řádku, v němž je pravdivostní hodnota funkce T, je argumentům přiřazen lichý počet Ts a v každém řádku, v němž je funkce F, je argumentům přiřazen sudý počet Ts. Konkrétně f(F, F, …, F) = F a tyto funkce odpovídají lineárním mapám nad booleovským vektorovým prostorem.
- V každém řádku, v němž je pravdivostní hodnota funkce T, je argumentům funkce přiřazen sudý počet Ts a v každém řádku, v němž je pravdivostní hodnota funkce F, je argumentům přiřazen lichý počet Ts. V tomto případě platí, že f(F, F, …, F) = T.
Jiný způsob vyjádření je, že každá proměnná se vždy podílí na pravdivostní hodnotě operace nebo se nikdy nepodílí.
Negace, logická dvojpodmínka, exkluzivní nebo, tautologie a kontradikce jsou lineární funkce.